O Diagrama de dispersão

O Diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano (X,Y) são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em cada elemento do conjunto de dados.

x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 
y <- c(100, 200,300,400,500,600, 700, 800, 900, 1000) 
par(mfrow=c(1,2))
plot(x,y, col = "red", pch=21,lwd = 10) 
y <- c(210, 50,280,400,590,540, 730, 770, 800, 1100)
plot(x,y, col = "blue",pch=21, lwd = 10)

par(mfrow=c(1,1))

idade = c(56, 30, 40, 32, 39, 23, 17, 20, 28, 16)
qtdmiojo = c(17, 29, 27, 35, 27, 56, 58, 54, 50, 38)
datacor = data.frame(qtdmiojo,idade)
datacor

##    qtdmiojo idade
## 1        17    56
## 2        29    30
## 3        27    40
## 4        35    32
## 5        27    39
## 6        56    23
## 7        58    17
## 8        54    20
## 9        50    28
## 10       38    16

Este diagrama de dispersão tem um padrão linear geral (reta), mas a relação é negativa.

Essa padrão linear é facil de ver.

#Outro exemplo: pena de morte e aborto
penademorte <- c(7,7,3,0,0,10,5,7,0,10,1,8,1,9,8,8,4,10,10,9)
aborto      <- c(1,2,7,7,9, 3,9,5,8,4,10,3,9,2,2,6,8,6,6,8)
plot(penademorte,aborto,col = "darkblue",pch=21)
abline(lsfit(penademorte,aborto),col="darkred")

Quais variáveis têm padrão linear positivo? quais têm padrão linear negativo? Quais não tem um padrão (padrão nulo)?

O que é correlação?

A Correlação mede a direção (positivas ou negativas) e a intensidade (força) da relação linear entre duas variáveis quantitativas (relacionamento entre duas variáveis). Costuma-se representar a correlação pela letra r.

Fatos sobre a correlação

A correlação não faz distinção entre variável explicativa e variável resposta Não faz diferença alguma qual variável você chama de x e qual você chama de y, ao calcular a correlação.

r positivo indica uma associação positiva entre as variáveis, e r negativo indica uma associação negativa.

A correlação é sempre um número entre -1 e 1. Valores próximos de zero indicam uma relação linear muito fraca. A intensidade da relação linear cresce, à medida que r se afasta de zero em direção a -1 ou 1. Os valores de r próximos de -1 ou 1 indicam que os pontos num diagrama de dispersão caem próximos de uma reta. Os valores extremos r= -1 e r= 1 ocorrem apenas no caso de relação linear perfeita , quando os pontos caem exatamente sobre a reta.

Coeficiente de correlação produto-momento de Pearson (r)

Mede a intensidade e a direção da relação entre duas variáveis contínuas

Tipos de correlações

Correlação de Pearson para variáveis continuas

Correlação de Spearman para variáveis ordinais

Para saber mais clique aqui

Fonte

Interpretação do r - Valores de referência

Negativo

-0,2 < r < 0 baixa ou nenhuma associação

-0,7 < r < -0,2 grau fraco/moderado de associação

< -0,7 grau excelente de associação

Positivo

0 < r < 0,2 baixa ou nenhuma associação (ou -0,2 < r < 0)

0,2 < r < 0,7 grau fraco/moderado de associação (ou -0,7 < r < -0,2)

r > 0,7 grau excelente de associação (ou <-0,7)

Fórmula da correlação de Pearson

$$\Huge{ r =\frac{COV(x,y)}{S_xS_y} }$$ Onde:

• COV = covariância
• S = Desvio-padrão
• Covariância é o número que reflete o grau em que duas variáveis variam juntas.

$$\Huge{COV = \frac{\Sigma(X - \overline{X})(Y - \overline{Y})}{N - 1}}$$

Fórmula alternativa

$$\Huge{r = \frac{n*\Sigma(X*Y) - \Sigma(X)*\Sigma(Y)}{\sqrt{n*\Sigma(X)^2-(\Sigma(X))^2}\sqrt{n*\Sigma(Y)^2-(\Sigma(Y))^2}}}$$

Como aplicar a Fórmula em um conjunto de dados?

Banco de dados

para o cálculo da correlação

Variáveis originais e cálculos intermediários

$$\Huge{r = \frac{n\cdot\Sigma(X\cdot Y) -\Sigma(X)*\Sigma(Y)}{\sqrt{n\cdot\Sigma(X)^2-(\Sigma(X))^2}\sqrt{n\cdot\Sigma(Y)^2-(\Sigma(Y))^2}}}$$

$$\Huge{r = \frac{8(447) -40\cdot80}{\sqrt{8\cdot228-(40)^2}\sqrt{8\cdot(882)^2-((80))^2}}}$$

$$\Huge{r = \frac{3576-3200}{\sqrt{1824-1600}\sqrt{7056-6400)}}}$$

$$\Huge{r = \frac{376}{383,33}= 0,981 }$$

dados <-data.frame(x=c(2,3,4,5,5,6,7,8),
                   y=c(4,7,9,10,11,11,13,15))
cor(dados$x,dados$y)

Correlação entre idade e miojo

cor(datacor$idade, datacor$qtdmiojo)

## [1] -0.8262782

plot(datacor$idade, datacor$qtdmiojo)
abline(lsfit(datacor$idade, datacor$qtdmiojo),col="darkred")

Correlação de Pearson

Correlação entre as variáveis Kmporlitro e HP e as variáveis Kmporlitro e Peso

cor(CARROS$Kmporlitro,CARROS$HP)

## [1] -0.7761684

cor(CARROS$Kmporlitro,CARROS$Peso)

## [1] -0.8676594

Correlação de Spearman

var1 = c(10, 9, 5, 6, 7)
var2 = c(3, 6, 10, 5, 4)
cor(var1,  var2, method="spearman")

## [1] -0.7

Na prática, fazemos uma matriz com todas as correlações.

animais = c(10, 13, 14, 11, 10, 17, 10, 7, 12, 13)
frutas = c(11, 11, 14, 9, 7, 14, 9, 4, 13, 12)
fas = c(3, 20, 27, 26, 16, 41, 34, 13, 31, 38)
dados.fv = data.frame(animais, frutas, fas)
#cor(dados.fv)  
pairs(dados.fv)

Na prática, fazemos uma matriz com todas as correlações.

cor(CARROS[,c("Preco","RPM","HP","Kmporlitro","Amperagem_circ_eletrico","Peso")])

##                              Preco         RPM         HP Kmporlitro
## Preco                    1.0000000 -0.43369788  0.7909486 -0.8475514
## RPM                     -0.4336979  1.00000000 -0.7082234  0.4186840
## HP                       0.7909486 -0.70822339  1.0000000 -0.7761684
## Kmporlitro              -0.8475514  0.41868403 -0.7761684  1.0000000
## Amperagem_circ_eletrico -0.7102139  0.09120476 -0.4487591  0.6811719
## Peso                     0.8879799 -0.17471588  0.6587479 -0.8676594
##                         Amperagem_circ_eletrico       Peso
## Preco                               -0.71021393  0.8879799
## RPM                                  0.09120476 -0.1747159
## HP                                  -0.44875912  0.6587479
## Kmporlitro                           0.68117191 -0.8676594
## Amperagem_circ_eletrico              1.00000000 -0.7124406
## Peso                                -0.71244065  1.0000000

No entanto, hoje em dia podemos construir uma visualização de dados dessa matriz.

Visualização da Matriz de Correlação

Visualização da Matriz de Correlação

library(corrplot)
M <- cor(CARROS[,c("Preco","RPM","HP","Kmporlitro","Peso")])
corrplot(M, method="circle")

Visualização da Matriz de Correlação

corrplot(M, method="square")

Visualização da Matriz de Correlação

corrplot(M, method="number")

Visualização da Matriz de Correlação

corrplot(M, method="color")

Visualização da Matriz de Correlação

corrplot(M, method="pie")

Visualização da Matriz de Correlação:Criação de Grupos

corrplot(M, order="hclust", addrect=2)

Visualização da Matriz de Correlação: Democratas e Republicanos

col3 <- colorRampPalette(c("red", "white", "blue")) 
corrplot(M, order="hclust", addrect=2, col=col3(20))

Matriz de correlação Pós-Moderna

wb <- c("white","black")
corrplot(M, order="hclust", addrect=2, col=wb, bg="gold2")

Matriz de correlação Analítica (Versão 1)

corrplot.mixed(M)

Matriz de correlação Analítica (Versão 2)

corrplot(M,addCoef.col=TRUE,number.cex=0.7)

Regressão linear: objetivos

• Predizer observações futuras
• Avaliar o efeito as relações da variável independente (x) sobre uma variável dependente (y)
• Descrever a estrutura dos dados

Modelo de Regressão Linear

$\Huge{Y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon}$

Onde:
Y = é o valor a ser predito
$\Huge{\beta_0}$ = é o intercepto (valor quando x = 0)
$\Huge{\beta_1}$ = é a inclinação da reta de regressão
x = é o valor da variável preditora (preditor linear)
$\Huge{\epsilon}$ é o erro

Modelo de regressão: exemplo 1

y = c(110, 120, 90, 70, 50, 80, 40, 40, 50, 30)
xx = 1:10
modelo = lm(y ~ xx)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ xx)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           xx  
##     118.667       -9.212

Modelo de regressão: exemplo 1

plot(y ~ xx)
abline(modelo, col=2, lty=2, lwd=2)
legend("top", legend=c("valores observados", "valores ajustados"), lty=c(NA,2), col=c(1,2), lwd=1:2, bty="n", pch=c(1,NA))

Modelo de regressão: exemplo 2

renda = c(1750, 1680, 1700, 1710, 1690, 1650, 1650, 1600, 1800, 1860)
anosdeestudo = c(8, 7, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 8, 9)
modelo2 = lm(renda ~ anosdeestudo)

plot(renda ~ anosdeestudo)
abline(modelo2, col=2, lty=2, lwd=2)
legend("topleft", legend=c("valores observados", "valores ajustados"), lty=c(NA,2), col=c(1,2), lwd=1:2, bty="n", pch=c(1,NA))

modelo2

## 
## Call:
## lm(formula = renda ~ anosdeestudo)
## 
## Coefficients:
##  (Intercept)  anosdeestudo  
##      1387.51         49.46

Modelo de regressão: exemplo 3

data("mtcars")
modelo3 = lm(mpg ~ wt, data=mtcars)
modelo3

## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ wt, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           wt  
##      37.285       -5.344

plot(mtcars$mpg ~ mtcars$wt)
abline(modelo3, col=2, lty=2, lwd=2)
legend("topright", legend=c("valores observados", "valores ajustados"), lty=c(NA,2), col=c(1,2), lwd=1:2, bty="n", pch=c(1,NA))

Modelo de regressão: exemplo 4

modelo4 = lm(mpg ~ wt+cyl+disp+hp, data=mtcars)
modelo4

## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ wt + cyl + disp + hp, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           wt          cyl         disp           hp  
##    40.82854     -3.85390     -1.29332      0.01160     -0.02054

par(mfrow = c(2, 2))
plot(mtcars$mpg ~ mtcars$wt)
plot(mtcars$mpg ~ mtcars$cyl)
plot(mtcars$mpg ~ mtcars$disp)
plot(mtcars$mpg ~ mtcars$hp)